Errori Comuni da Evitare
Questa pagina raccoglie alcuni errori frequenti osservati nelle prove d'esame o durante lo studio degli argomenti del corso. Prestarvi attenzione può aiutarti a migliorare la tua preparazione e a evitare tranelli comuni.
Errori Comuni sulle Relazioni
Riflessività: Superfluità nella Dimostrazione
Quando si dimostra la riflessività $xRx$, scrivere "$x=x$" come giustificazione è corretto, ma se la definizione della relazione $R$ porta già a un'identità ovvia, specificare "$x=x$" può essere superfluo se non aggiunge chiarezza al contesto della relazione specifica.
Esempio (contesto $xRy \iff x \pmod{10} = y \pmod{10}$):
Per $xRx$: $x \pmod{10} = x \pmod{10}$. Questo è già un'identità. Aggiungere "perché $x=x$" non è sbagliato ma non è il nucleo della giustificazione per la riflessività in questo caso; la riflessività deriva dal fatto che l'operazione $x \pmod{10}$ dà un risultato unico per ogni $x$.
Approccio Corretto:
Per la riflessività, verificare $\forall x, xRx$.
Data $xRy \iff x \pmod{10} = y \pmod{10}$.
Allora $xRx \iff x \pmod{10} = x \pmod{10}$. Questa uguaglianza è vera poiché il resto della divisione di un numero per 10 è unico. Quindi $R$ è riflessiva.
Simmetria: Inversione Implicazione o Errata Conclusione
La simmetria richiede di dimostrare $xRy \Rightarrow yRx$. Un errore comune è assumere $xRy \wedge yRx$ o confondere ipotesi e tesi.
Errore Comune: Scrivere "$xRy \wedge yRx$" e poi procedere. Questo non dimostra l'implicazione.
Oppure, data $xRy \iff x \pmod{10} = y \pmod{10}$: concludere che è simmetrica solo perché l'operatore "$=$" è simmetrico, senza mostrare esplicitamente i passaggi per $yRx$.
Approccio Corretto (contesto $xRy \iff x \pmod{10} = y \pmod{10}$):
Assumiamo $xRy$. Per definizione, questo significa $x \pmod{10} = y \pmod{10}$.
Poiché l'uguaglianza "$=$" è una relazione simmetrica, se $A=B$ allora $B=A$.
Quindi, da $x \pmod{10} = y \pmod{10}$, segue $y \pmod{10} = x \pmod{10}$.
Per definizione di $R$, $y \pmod{10} = x \pmod{10}$ significa $yRx$.
Abbiamo dimostrato $xRy \Rightarrow yRx$. Quindi $R$ è simmetrica.
Antisimmetria: Confusione con Variabili Mute o Errata Applicazione
Per l'antisimmetria ($ (xRy \wedge yRx) \Rightarrow x=y $), se la definizione della relazione usa variabili esistenziali (es. $x|y \iff \exists m, y=mx$), è cruciale non assumere che la variabile muta (come $m$) sia la stessa nelle due parti dell'ipotesi $xRy$ e $yRx$. Bisogna usare nomi diversi (es. $m$ e $q$).
Errore (contesto $x|y \iff \exists m \in \mathbb{Z}, y=mx$):
Assumo $xRy \wedge yRx$.
Quindi $y=mx$ e $x=my$ (usando lo stesso $m$).
Allora $x = m(mx) = m^2x \implies m^2=1 \implies m=\pm 1$. Se $m=-1$, $x=-y$, che non implica $x=y$ (se $x,y$ possono essere negativi).
Questo approccio è fallace perché $m$ non è necessariamente lo stesso.
Approccio Corretto (contesto $x|y \iff \exists k \in \mathbb{Z}, y=kx$ su $\mathbb{N}\setminus\{0\}$):
Assumiamo $xRy \wedge yRx$.
Allora $y=k_1 x$ per qualche $k_1 \in \mathbb{Z}$ (da $xRy$).
E $x=k_2 y$ per qualche $k_2 \in \mathbb{Z}$ (da $yRx$).
Sostituendo la prima nella seconda: $x = k_2 (k_1 x) = (k_1 k_2) x$.
Poiché $x \in \mathbb{N}\setminus\{0\}$, $x \neq 0$, quindi possiamo dividere per $x$, ottenendo $k_1 k_2 = 1$.
Dato che $x,y$ sono naturali positivi e $y=k_1x, x=k_2y$, anche $k_1, k_2$ devono essere interi positivi.
L'unica soluzione intera positiva per $k_1 k_2 = 1$ è $k_1=1$ e $k_2=1$.
Se $k_1=1$, allora $y=1 \cdot x \implies y=x$.
Quindi $R$ è antisimmetrica.
Transitivà: Confusione con Variabili Mute o Passaggi Logici Saltati
Simile all'antisimmetria, se la definizione di $R$ usa variabili esistenziali, bisogna usare nomi diversi per queste variabili mute quando si considerano $xRy$ e $yRz$. Inoltre, ogni passaggio deduttivo deve essere giustificato.
Errore (contesto $xRy \iff x-y=10k$):
Assumo $xRy \wedge yRz$. Quindi $x-y=10k$ e $y-z=10k$ (usando lo stesso $k$).
Sommando: $x-z = 20k$. Questo non implica $xRz$ (che richiederebbe $x-z=10k'$).
Approccio Corretto (contesto $xRy \iff x-y=10k_i$):
Assumiamo $xRy \wedge yRz$.
Allora $x-y = 10k_1$ per qualche $k_1 \in \mathbb{Z}$ (da $xRy$).
E $y-z = 10k_2$ per qualche $k_2 \in \mathbb{Z}$ (da $yRz$).
Sommando membro a membro le due equazioni:
$(x-y) + (y-z) = 10k_1 + 10k_2$
$x-z = 10(k_1+k_2)$.
Sia $k_3 = k_1+k_2$. Poiché $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$, anche $k_3 \in \mathbb{Z}$.
Quindi $x-z = 10k_3$, che per definizione significa $xRz$.
$R$ è transitiva.
Ordine Parziale vs Totale: Controesempio Errato o Mancante
Per dimostrare che un ordine è parziale (e non totale), è necessario esibire un **controesempio**: una coppia di elementi distinti $x,y$ tali per cui né $xRy$ né $yRx$ valgono. Affermare che è parziale senza un controesempio non è una dimostrazione.
Affermazione Debole: "L'ordine è parziale perché non tutti gli elementi sono confrontabili." (Manca il "chi").
Approccio Corretto (contesto $(D_{12}, |)$ dove $D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$):
L'ordine è parziale. Ad esempio, consideriamo $x=2$ e $y=3$.
$2 \nmid 3$ (2 non divide 3), quindi $2Ry$ è falsa.
$3 \nmid 2$ (3 non divide 2), quindi $yRx$ è falsa.
Poiché esistono $x,y \in D_{12}$ tali che $\neg(xRy) \wedge \neg(yRx)$, l'ordine non è totale, quindi è parziale.
Errori Comuni nelle Dimostrazioni per Induzione
Definizione Errata della Proprietà $P(n)$
$P(n)$ deve essere un'affermazione (una proposizione che dipende da $n$) che può essere vera o falsa. Non può essere solo un'espressione da calcolare.
Errore: Sia $P(n): \sum_{i=1}^{n} i$. (Questa è un'espressione che dà un valore, non un'affermazione V/F).
Poi si procede a "dimostrare $P(n)$".
Approccio Corretto:
Sia $P(n): " \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} "$. Questa è un'uguaglianza che può essere V o F.
Poi si dimostra che $P(n)$ è vera per tutti gli $n \ge n_0$.
Passo Base Mancante o Errato
Omettere il passo base o verificarlo per un $n_0$ non corretto (es. $n=0$ se la proprietà è definita per $n \ge 1$) invalida l'intera dimostrazione.
Errore (per $P(n): \sum_{i=1}^{n} 1 = n+1$):
Si dimostra il passo induttivo: $P(k) \Rightarrow P(k+1)$.
$\sum_{i=1}^{k} 1 = k+1 \implies \sum_{i=1}^{k+1} 1 = (k+1)+1 = k+2$.
Passo induttivo: $\sum_{i=1}^{k+1} 1 = (\sum_{i=1}^{k} 1) + 1 \overset{I.I.}{=} (k+1)+1 = k+2$. Il passo induttivo sembra funzionare.
MA il passo base per $n=1$: $\sum_{i=1}^{1} 1 = 1$. Invece $n+1 = 1+1=2$. $1 \neq 2$.
Il passo base fallisce, quindi la proprietà è falsa.
Approccio Corretto: Verificare sempre il passo base per il valore iniziale $n_0$ specificato dalla proprietà.
Assumere la Tesi Induttiva ($P(k+1)$)
Nel passo induttivo, si deve assumere $P(k)$ (Ipotesi Induttiva) e da questa *derivare* $P(k+1)$ (Tesi Induttiva). Non si deve partire da $P(k+1)$ come se fosse vera e manipolarla fino a un'identità.
Errore (per dimostrare $P(k+1)$):
Scrivere l'uguaglianza di $P(k+1)$ e poi manipolare entrambi i membri fino a ottenere, ad esempio, $0=0$. Questo non dimostra che $P(k+1)$ segue da $P(k)$.
Approccio Corretto:
1. Scrivere chiaramente la Tesi Induttiva $P(k+1)$.
2. Partire da un membro (solitamente il più complesso) di $P(k+1)$.
3. Manipolarlo algebricamente, usando l'Ipotesi Induttiva $P(k)$ in un passaggio cruciale.
4. Arrivare all'altro membro di $P(k+1)$.
Errori Algebrici o di Manipolazione delle Sommatorie/Produttorie
Errori nei passaggi algebrici, nella scomposizione di polinomi, o nell'isolare termini da sommatorie/produttorie.
Errore comune con sommatorie:
$\sum_{i=1}^{n} (2i) = 2 \sum_{i=1}^{n} i$ (Corretto: linearità).
$\sum_{i=1}^{n} 2 = 2$ (Errato! Dovrebbe essere $2n$).
$\sum_{i=1}^{n} (a_i + 1) = (\sum_{i=1}^{n} a_i) + 1$ (Errato! Dovrebbe essere $(\sum_{i=1}^{n} a_i) + n$).
Approccio Corretto: Applicare attentamente le proprietà della linearità e la definizione di sommatoria di una costante: $\sum_{i=1}^{n} c = n \cdot c$. Quando si "stacca" un termine da una sommatoria, ad esempio $\sum_{i=1}^{k+1} a_i = (\sum_{i=1}^{k} a_i) + a_{k+1}$, assicurarsi che gli indici siano corretti.